逆行列

1. 定義

逆行列は、正方行列Aに対して掛けると単位行列Iになる行列で、A^(−1)と表記します（DOM-1302（基本情報技術者試験シラバス Ver.9.2）テクノロジ系 大分類1 基礎理論 2.応用数学(2)数値計算、用語例「逆行列」）。A・A^(−1)＝A^(−1)・A＝Iが成り立ちます。行列式（det A）が0でない場合にのみ存在します。

2. 計算式とその意味

2×2行列A＝[[a,b],[c,d]]の逆行列は、行列式ad−bcが0でないとき、A^(−1)＝1／(ad−bc)×[[d,−b],[−c,a]]で求められます。連立一次方程式Ax＝bの解は、両辺に左からA^(−1)を掛けてx＝A^(−1)bとして求められます。

3. 計算例

A＝[[2,1],[1,1]]について、行列式はad−bc＝2×1−1×1＝1です。0でないため逆行列が存在し、A^(−1)＝1／1×[[1,−1],[−1,2]]＝[[1,−1],[−1,2]]と求まります。実際にA・A^(−1)を計算すると単位行列[[1,0],[0,1]]になります。

4. 検定試験での視点

行列式が0でない場合にのみ存在するという条件、連立一次方程式を解く際に逆行列を使う手順が問われます。

5. 紛らわしい制度・語との違い

転置行列との違いは、作り方も意味も異なる点です。転置行列は行と列を入れ替えるだけの操作で常に存在しますが、逆行列は掛けて単位行列になる行列で、行列式が0でない場合しか存在しません。