確率変数

確率変数とは何か

サイコロを振る、硬貨を投げるといった実験では、やってみるまで結果が分かりません。このように結果が偶然に左右される実験を考えるとき、その結果を1つの文字で表したものを確率変数と呼びます。

ダートマス大学のグリンステッド(Grinstead)とスネル(Snell)による教科書 Introduction to Probability は、確率変数を次のように定義しています。結果が偶然に左右される実験があるとき、その実験の結果をXのような大文字のローマ字で表し、これを確率変数と呼ぶ、という定義です。つまり確率変数は、まだ決まっていない実験の結果に名前を付けておくための道具だと考えられます。

確率変数を支える3つの用語

確率変数を理解するには、同じ教科書で定義されている3つの用語を押さえておくと見通しがよくなります。

標本空間

標本空間とは、その実験で起こりうるすべての結果を集めた集合です。教科書では、標本空間をギリシャ文字の大文字Ω(オメガ)で表すのが一般的だと述べています。

結果

標本空間に含まれる1つひとつの要素を、結果と呼びます。サイコロなら、出た目の1つひとつが結果にあたります。

事象

標本空間の部分集合、つまり結果をいくつか選んで集めたものを事象と呼びます。1つの結果だけを含む集まりも、複数の結果を含む集まりも、どちらも事象です。

まとめると、起こりうる結果を全部集めたものが標本空間、その中の1つずつが結果、その中から一部を取り出した集まりが事象、という関係になります。確率変数Xは、この標本空間の中のどの結果が実際に起きたかを表す役割を持ちます。

離散的な確率変数

教科書では、標本空間の大きさによって確率変数を分類しています。標本空間が有限個の結果からなる場合、または可算無限個の結果からなる場合、その確率変数は離散的であるといいます。

有限とは、サイコロの目のように結果の数が決まった個数で終わる場合です。可算無限とは、結果が限りなく続くものの、1番目、2番目、3番目と番号を付けて数え上げていける場合を指します。どちらの場合も、結果を1つずつ区切って並べられるという点が共通しています。

具体例 サイコロを1回振る

教科書の例に沿って、サイコロを1回振る実験を考えます。この実験の結果をXで表します。Xが確率変数です。

この実験の標本空間は、1、2、3、4、5、6の6つの数からなる集合です。それぞれの数は、上を向いた面にある点の数、つまり出た目に対応します。結果は6個しかないので標本空間は有限であり、Xは離散的な確率変数です。

次に、偶数の目が出る、という出来事を考えます。これは2、4、6の3つの結果を集めた集合で、標本空間の部分集合なので事象です。教科書ではこの事象をEと名付けています。

確率変数を使うと事象を言い換えられる

この例で大切なのは、事象Eを確率変数Xを使って言い換えられる点です。偶数の目が出るという事象Eは、Xが偶数である、と表現することもできます。

結果の集合を一つひとつ書き並べる代わりに、Xがどんな条件を満たすかという形で事象を表せるようになる、ということです。確率変数を導入すると、実験の結果についての主張を、変数についての条件として簡潔に書き表せるようになります。これが確率変数を使う大きな利点の1つです。