こゆべくとる

固有ベクトル

Eigenvector

行列による線形変換において、変換後も向きが変わらず、元のベクトル方向を維持するベクトルのことです。主成分分析ではデータの分散が大きい方向（主成分軸）を示すために不可欠な要素です。

詳しい説明

固有ベクトルは、正方行列Aによる線形変換Avを施しても向きが変わらず、定数倍されるだけのベクトルvです（DOM-1302（基本情報技術者試験シラバス Ver.9.2）テクノロジ系大分類1 基礎理論 2.応用数学(2)数値計算、用語例「固有ベクトル」）。このときの定数倍の比率を固有値と呼びます。

正方行列A、スカラーλ（固有値）、ベクトルv（固有ベクトル、v≠0）について、Av＝λvが成り立つとき、vをAの固有ベクトル、λを固有値と呼びます。固有値はAの特性方程式det(A−λI)＝0を解いて求め、その各λについてAv＝λvを満たすvを求めます。

行列A＝[[2,0],[0,3]]について、ベクトルv＝(1,0)にAを掛けるとAv＝(2,0)＝2×(1,0)となり、向きが変わらず2倍されています。よってv＝(1,0)は固有値2に対応する固有ベクトルです。同様にv＝(0,1)は固有値3に対応する固有ベクトルです。

行列変換において向きが不変であるという定義、固有値との対応関係（Av＝λv）、主成分分析の主成分軸を示すという用途が問われます。

固有値との違いは何を表すかです。固有ベクトルが変換しても向きが変わらない「方向」を表すのに対し、固有値はその方向がどれだけ伸縮するかを表す「倍率」です。