確率密度

連続確率変数という前提

確率密度は、どんな確率変数にも使う考え方ではありません。対象は、連続した実数の値をとる確率変数です。

グリンステッド(Grinstead)とスネル(Snell)の教科書 Introduction to Probability の第2章は、次のように話を始めます。実験で起こりうる結果全体の集まりを標本空間と呼びます。この標本空間に適切な座標を入れて、実数の空間(n次元の実数空間)の一部とみなせる場合があります。たとえば結果が実数の区間として表せる場合です。このような標本空間を連続標本空間と呼びます。そして実験の結果を表す確率変数Xを、連続確率変数と呼びます。確率密度は、この連続確率変数Xに対して定める考え方です。

なお、結果が有限個や、1個目、2個目と数え上げられるような離散的な場合には、確率密度ではなく別の考え方(分布関数)が使われます。このページでは連続の場合だけを扱います。

密度関数の定義

同じ教科書の定義2.1は、密度関数を次のように定めています。

Xを、連続した実数の値をとる確率変数とします。ある実数値の関数fが、どんな実数aとbについても次の条件を満たすとき、fをXの密度関数と呼びます。

• Xがaとbのあいだに入る確率が、fをaからbまで積分した値に等しい

つまり密度関数は、区間ごとの確率を、その区間でfを積分するという操作によって与える関数です。定義が直接決めているのは、Xが区間に入る確率であり、それが積分の値として求まる、という関係です。

教科書はさらに、区間に限らず一般に、Eが実数の部分集合であれば、XがEに入る確率はfをEの上で積分した値に等しい、と述べています。

すべての連続確率変数が密度関数を持つわけではない

定義2.1のすぐ後に、教科書は注意を添えています。連続した実数の値をとる確率変数であっても、そのすべてが密度関数を持つわけではない、という注意です。

連続確率変数であることと、密度関数を持つことは同じではありません。確率密度を使って確率を計算できるのは、上の条件を満たす関数fが存在する場合です。

具体例: 回転する矢(スピナー)

教科書の例2.10は、円盤の上で矢を回して、矢の先が止まる位置を結果とする実験(スピナー)を取り上げています。

• 結果の集合として、0以上1未満の区間を選びます。円周上の位置をこの区間の数で表すということです
• 密度関数fとして、0以上1未満の範囲では値1、それ以外では値0をとる関数を設定します。区間全体で同じ値をとる、一様な密度関数です

ここで、矢の先が円の上半分に止まるという出来事Eを考えます。このEは、0から2分の1までの区間にあたります。Eの確率は、値1を0から2分の1まで積分した値であり、2分の1になります。

もっと一般に、矢の先がaからbまでの区間に止まるという出来事の確率は、bからaを引いた値になります。区間の長さがそのまま確率になるということで、どの位置にも偏りなく止まる矢という直感とも合っています。

まとめ

• 確率密度は、連続した実数の値をとる確率変数を対象にする
• 密度関数fは、Xが区間に入る確率を、その区間でfを積分した値として与える関数である
• 連続確率変数でも、密度関数を持たないものがある
• スピナーの例では、一様な密度関数を積分して、上半分に止まる確率2分の1が求まる