2進数と論理演算

ねらい

コンピュータの中で数がどう表されるかを学びます。このレッスンを終えると、2進数と10進数を相互に変換でき、論理演算の結果を求められるようになります。

なぜ0と1なのか

コンピュータは、電気が流れているか、いないかという2つの状態で動きます。中間の状態を作らないので、少しくらい電圧が揺れても読み間違えません。この確実さが、0と1を使う理由です。

私たちが普段使うのは10進数で、0から9までの10種類を使い、9の次で桁が上がります。2進数は0と1の2種類だけを使い、1の次で桁が上がります。

2進数を10進数に直す

10進数では、右から順に1の位・10の位・100の位です。2進数では、右から順に1・2・4・8・16…と、2倍ずつ増えます。

2進数の 1101 を10進数にしてみます。

合計は 8＋4＋0＋1 で 13 です。1が立っている桁の重みを足すだけです。

10進数を2進数に直す

2で割り続けて、余りを下から並べます。

10進数の13を2進数にします。

• 13 ÷ 2 ＝ 6 余り 1
• 6 ÷ 2 ＝ 3 余り 0
• 3 ÷ 2 ＝ 1 余り 1
• 1 ÷ 2 ＝ 0 余り 1

余りを下から上へ読んで 1101 です。先ほどの逆になっていることを確かめてください。

動かして確かめる

2進数の桁をオン/オフして合計を確かめるか、10進数を2で割り続けて2進数を作るか、 向きを切り替えて試してみましょう。

何通り表せるか

nビットで表せる組み合わせは 2のn乗通りです。

• 1ビット… 2通り（0、1）
• 2ビット… 4通り（00、01、10、11）
• 3ビット… 8通り
• 8ビット… 256通り

桁を1つ増やすと、表せる数は2倍になります。色を光の三原色（赤・緑・青）それぞれ3ビットで表すなら、各色8通りなので、8×8×8で512色を表せます。

16進数という書き方（参考）

2進数は桁数が長くなりがちです。実務では、2進数4桁をまとめて1桁で表す16進数もよく使われます（0から9の数字とAからFの文字で16種類を表します）。ITパスポートでは、16進数への変換の計算は出題範囲外です。基本情報技術者試験など、より詳しい資格で学びます。

論理演算 — 真と偽の計算

0を偽、1を真とみなして行う計算が論理演算です。

言葉にすると、こうなります。

• AND… 両方とも1のときだけ1。「かつ」です。
• OR… どちらか一方でも1なら1。「または」です。
• XOR… 2つが違うときだけ1。同じなら0です。
• NOT… 0と1を入れ替えます。

XORは「違いを見つける計算」です。同じものどうしなら0になるので、2つのデータを比べて変わった場所を探すのに使えます。

まとめ

コンピュータは、電気が流れているかいないかの2状態を使うため、0と1の2進数で数を表します。2進数から10進数へは1が立った桁の重みを足し、10進数から2進数へは2で割った余りを下から読みます。nビットで2のn乗通りを表せます。論理演算では、ANDが「両方」、ORが「どちらか」、XORが「違うとき」に1になります。

理解の確認

2進数 10110 を10進数で表すといくつになるでしょうか。計算の過程も示してください。

答え: 22 です。右から順に桁の重みは 1・2・4・8・16 なので、各桁に重みを当てはめます。

1が立っているのは重み16・4・2の桁なので、16＋4＋2＝22 です。0の桁は足しません。確かめとして、22を2で割り続けると 22÷2＝11余り0、11÷2＝5余り1、5÷2＝2余り1、2÷2＝1余り0、1÷2＝0余り1 となり、余りを下から読んで 10110 に戻ります。