加法定理

1. 定義

加法定理とは、2つの事象のうち少なくとも一方が起こる確率を、それぞれの事象の確率から求める定理のことです。

三角関数にも同じ名前の定理がありますが、この試験の出題範囲でこの語が置かれているのは確率の節であり、階乗・乗法定理・同時確率・条件付き確率・ベイズの定理と並んでいます。

2. 計算式

事象 A または B が起こる確率は、次の式で求めます。

P（A ∪ B） ＝ P（A） ＋ P（B） − P（A ∩ B）

最後に引いているのは、A と B の両方が起こる場合です。単純に足すと、重なっている部分を2回数えてしまうので、その1回分を引きます。

A と B が同時には起こらない場合（排反）は、重なりが無いので式が短くなります。

P（A ∪ B） ＝ P（A） ＋ P（B）

3. 計算例

52枚のトランプから1枚引くとき、「ハートが出る」を A、「絵札が出る」を B とします。

• P（A） は 13 ÷ 52 で 0.25
• P（B） は 12 ÷ 52 で 約0.231
• 両方に当たるハートの絵札は3枚なので、P（A ∩ B） は 3 ÷ 52 で 約0.058

加法定理から、P（A ∪ B） ＝ 0.25 ＋ 0.231 − 0.058 で 約0.423 です。実際に数えると、ハート13枚と絵札12枚のうち重なる3枚を除いて22枚なので、22 ÷ 52 ＝ 約0.423 と一致します。

引き算を忘れると 0.481 になり、重なった3枚を二重に数えた分だけ大きく出ます。